四则运算法则（小学四则运算法则）

小学四则运算法则？

网友：椧運幽默 提问

我要法则 要写出来 比如加法;求两个因数的和

1楼网友：毛毛 解答于 2022-03-08 05:37

高中教材有一部分是微积分初步. 极限的四则运算法则是其中非常重要的1节.内容如下: 设liman=a,limbn=b,则有 法则1:lim(an+bn)=a+b 法则2:lim(an-bn)=a-b 法则3:lim(an·bn)=ab 法则4:lim(an/bn)=a/b. 法则5:lim(an的k次方)=a的k次方(k是正整数) (n趋于+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事) 但是书上没有给证明.这将为后面的学习带来困难.以前也有吧友问过此事. 其实大学教材上是有证明的.现在我用中学生的思维给证一下,希望能便于大家阅读. 首先必须知道极限的定义: 如果数列{xn}和常数a有以下关系:对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数n,使得对于满足n＞n的一切xn,不等式|xn-a|＜ε都成立, 则称常数a是数列{xn}的极限,记作limxn=a. 这个定义的意思就是“当n无限增大时,xn无限接近于a”.只不过给了个定量的表示. 现在教材连这个定义都不讲了,这会使我们学的时候更麻烦. 根据这个定义,首先容易证明: 引理1:limc=c. (即常数列的极限等于其本身) 法则1的证明: ∵liman=a, ∴对任意正数ε,存在正整数n₁,使n＞n₁时恒有|an-a|＜ε.①(极限定义) 同理对同一正数ε,存在正整数n₂,使n＞n₂时恒有|bn-b|＜ε.② 设n=max{n₁,n₂},由上可知当n＞n时①②两式全都成立. 此时|(an+bn)-(a+b)| =|an-a)+(bn-b)| ≤|an-a|+|bn-b| ＜ε+ε =2ε. 由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数. 即:对任意正数2ε,存在正整数n,使n＞n时恒有|(an+bn)-(a+b)|＜2ε. 由极限定义可知,lim(an+bn)=a+b. 为了证明法则2,先证明1个引理. 引理2:若liman=a,则lim(c·an)=ca.(c是常数) 证明:∵liman=a, ∴对任意正数ε,存在正整数n,使n＞n时恒有|an-a|＜ε.①(极限定义) ①式两端同乘|c|,得: |c·an-ca|＜cε. 由于ε是任意正数,所以cε也是任意正数. 即:对任意正数cε,存在正整数n,使n＞n时恒有|c·an-ca|＜cε. 由极限定义可知,lim(c·an)=ca. (若c=0的话更好证) 法则2的证明: lim(an-bn) =liman+lim(-bn) (法则1) =liman+(-1)limbn (引理2) =a-b. 为了证明法则3,再证明1个引理. 引理3:若liman=0,limbn=0,则lim(an·bn)=0. 证明:∵liman=0, ∴对任意正数ε,存在正整数n₁,使n＞n₁时恒有|an-0|＜ε.③(极限定义) 同理对同一正数ε,存在正整数n₂,使n＞n₂时恒有|bn-0|＜ε.④ 设n=max{n₁,n₂},由上可知当n＞n时③④两式全都成立. 此时有|an·bn| =|an-0|·|bn-0| ＜ε·ε =ε². 由于ε是任意正数,所以ε²也是任意正数. 即:对任意正数ε²,存在正整数n,使n＞n时恒有|an·bn-0|＜ε². 由极限定义可知,lim(an·bn)=0. 法则3的证明:令an=an-a,bn=bn-b. 则liman=lim(an-a) =liman+lim(-a) (法则1) =a-a (引理2) =0. 同理limbn=0. ∴lim(an·bn) =lim[(an+a)(bn+b)] =lim(an·bn+b·an+a·bn+ab) =lim(an·bn)+lim(b·an)+lim(a·bn)+limab (法则1) =0+b·liman+a·limbn+limab (引理3、引理2) =b×0+a×0+ab (引理1) =ab. 法则4的证明比较麻烦,在此先忽略了. 法则5的证明: lim(an的k次方) =liman·lim(an的k-1次方) (法则3) ….(往复k-1次) =(liman)的k次方 =a的k次方.